Integrais

No capítulo de Integrais tens 9 aulas. 
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Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Fórmula de Barrow;
• Cálculo de integrais definidos.

Aula 2

• Integração por partes;
• Integração por substituição.

Aula 3

• Teorema fundamental do cálculo integral, aplicações;
• Propriedades do integral de Riemann.

Aula 4

• Cálculo de áreas.

Aula 5

• Comprimento do arco;
• Volumes de sólidos de revolução.

Aula 6

• Integrais impróprios de 1ª espécie, 2ª espécie e mistos;
• Cálculo de integrais impróprios.

Aula 7

• Estudo dos integrais impróprios usando critérios.

Aula 8

• Resolução de exercícios de frequências e exames.

Aula 9

• Continuação da resolução de exercícios de frequências e exames.

Aulas de integrais

Neste capítulo explico-te a Fórmula de Barrow, os métodos de integração por Partes e por substituição, como calcular áreas e volumes, e ainda, o que são integrais impróprios. Vens assistir?

Os integrais utilizam-se para calcular áreas e volumes.

Resolver Integrais 

Ao longo deste capítulo vais aprender a resolver integrais comigo.

Imagina que, queremos resolver o integral:

Na prática estamos a calcular a seguinte área:

Cálculos de integrais

Os cálculos de integrais fazem-se a partir da fórmula de Barrow.

Fórmula de Barrow

logo podemos calcular os integrais usando todo o conhecimento de primitivas do capítulo anterior. Imagina que pretendemos, calcular:

Usando a fórmula de Barrow obtemos:

Este é apenas um exemplo desta fórmula. Nas minhas aulas ensino-te exemplos aplicados às diversas funções.

Fórmula de Barrow Exercícios Resolvidos

A fórmula de Barrow serve para calcular integrais vou mostrar-te alguns exercícios resolvidos por mim utilizando esta fórmula,
 

• Exercício 1:

esta primitiva é imediata basta colocarmos a constante 5 e ficamos com u'cos(u),

como a primitiva já se consegue resolver vamos utilizar a fórmula de Barrow

• Exercício 2:

a primitiva desta função não é imediata, porém se simplificarmos a expressão conseguimos obter primitivas imediatas.

Simplificamos utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, ou seja,

repara,

no primeiro integral temos u'sen(u) logo a sua primitiva será -cos(u), já no segundo temos u'uⁿ então a sua primitiva será

• Exercício 3:

neste integral estamos perante um quociente polinomial em que o grau do numerador é superior ao grau do denominador vamos fazer a divisão polinomial,

após esta simplificação ficamos com várias primitivas imediatas, logo já podemos utilizar a fórmula de Barrow,

Integração por Partes

O método de Integração por Partes deve ser utilizado quando tens um integral cuja primitiva farias por primitivação por partes. Repara que apenas muda a notação:

agora é praticar, vou dar-te um exemplo:

Consegues terminar? Desafia-te.

Integração por Partes - Exercícios resolvidos

Vou mostrar-te alguns exercícios resolvidos por mim utilizando o método de integração por partes,

• Exercício 1:

este integral não é imediato, pois não temos dentro do integral u´sen(u), e como se trata de um produto, o método mais correcto é integração por partes,

• Exercício 2:

este integral só seria imediato se o ln(x) multiplica-se pela sua derivada,  mais uma vez trata-se de um produto, logo vou aplicar o método de integração por partes,

• Exercício 3:

este exercício é bem interessante, pois para resolvermos este integral utilizamos o método de integração por partes e também temos de fazer várias simplificações, vou explicar-te,

neste passo recordo-te que,

aplicando este resultado obtemos,

Integrais por Substituição

O cálculo de Integrais por Substituição utiliza-se sempre que, as primitivas associadas às integrais são feitas por Substituição. A sua fórmula pode parecer-te difícil, mas não te assustes, nos meus vídeos vais compreender.

Integrais por Substituição exercícios resolvidos

Vou mostrar-te alguns exercícios resolvidos por mim utilizando o método de integração por substituição,

• Exercício 1:

começamos por pensar o que torna esta primitiva mais complicada e igualamos a t,

de seguida derivamos

e aplicamos o método de integração por substituição,

• Exercício 2:

neste exercício vamos igualar toda a expressão a t,

de seguida fazemos a sua derivada,

e aplicamos o método de integração por substituição,

• Exercício 3:

neste exercício o que torna a primitiva mais complicada é

então vamos igualar esta expressão a t.

agora fazemos a sua derivada,

e aplicamos o método de integração por substituição,

Calculadora de Integrais

Quando utilizamos uma calculadora de integrais podemos a partir desta saber qual o resultado final de um integral, porém a calculadora não nos ensina a resolver integrais.

Passo a explicar:

1. Imagina que numa aula de física tu pretendes saber qual o valor final de um determinado integral, nesse caso é útil a calculadora de integrais uma vez que consegue devolver o valor final do integral.
    
2. Agora, imagina que estás numa aula de matemática e queres resolver um integral, neste caso a calculadora não te resolve o problema pois não tem a capacidade de te explicar o caminho apenas consegue apresentar o resultado final.

Calcular Integrais

Vou calcular dois integrais e explicar-te como se faz:

a primitiva da função dada no integral é imediata, logo vamos utilizar diretamente a fórmula de Barrow.

a primitiva da função dada no integral não é imediata vamos utilizar o método de integração por partes para a resolver.

Áreas e Volumes

Como podemos calcular Áreas e Volumes a partir de integrais? Vou começar por explicar-te a área:

onde x = α é o valor onde começa a área no eixo dos xx’s, e x=b o valor onde termina, ƒ(x), a função que limita a área superiormente, e g(x) a função que limita inferiormente.

A fórmula do volume de revolução gerado pela rotação de 2π em torno do eixo dos xx’s é dada por:

Propriedades do Integral

O integral de Riemann têm várias propriedades que podemos utilizar no cálculo das áreas. Vou dar-te dois exemplos:

Queres saber como as usamos para calcular áreas? Descobre como no módulo de integrais.

Integrais Impróprios

Os integrais impróprios representam áreas que não estão limitadas.

O objectivo do estudo deste tipo de integrais é, saber se essa determinada área pode ser calculada ou não. Sempre que conseguimos calcular a área dizemos que a integral é convergente, caso contrário dizemos que é divergente.

O estudo destes integrais pode ser feito por definição, isto é, calculando o limite do integral e resolvendo a primitiva ou usando critérios de convergência. Um dos critérios de convergência mais utilizado é o critério da Comparação.