Sucessões

No capítulo de sucessões tens 9 aulas. 
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A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU!

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Definição de sucessão convergente e sucessão divergente;
• Definição de infinitésimo;
• Cálculo de limites de sucessões envolvendo polinómios e exponênciais.
   

Aula 2

• Cálculo de limites;
• Cálculo de limites envolvendo o limites notável do número de Neper.

Aula 3

• Definição de sucessão limitada;
• Definição de sucessão monótona crescente e sucessão monótona decrescente;
• Cálculo de limites de sucessões limitadas.

Aula 4

• Cálculo de limites de progressões aritméticas;
• Cálculo de limites de progressões geométricas;
• Teorema das sucessões enquadradas.

Aula 5

• Limite superior e limite inferior de uma sucessão;
• Resolução de alguns exercícios teóricos.

Aula 6

• Sucessões por recorrência.

Aula 7

• Continuação do estudo de sucessões por recorrência.

Aula 8

• Resolução de exercícios de sucessões de frequências e exames.

Aula 9

• Continuação dos exercícios de frequências e exames.

Aulas de Sucessões 

Neste capítulo vais aprender o que é uma sucessão convergente e como se calcula o seu limite. Vou também ensinar-te a calcular os limites de sucessões geométricas, aritméticas, por recorrência entre outros. Estás preparado?

Sucessões são conjuntos de infinitos pontos cujo domínio são os números naturais e o contradomínio os números reais. 

Exemplo: x_n = n,

Limites de Sucessões 

Existem diversos tipos de limites de sucessões, dependendo do termo geral da mesma. 

Sucessões Convergentes

As sucessões convergentes tendem para um número real.

Exemplo:

Exercícios de Sucessões Convergentes

Já sabemos que uma sucessão diz-se convergente se o seu limite tende para um único número real, para melhor entenderes vou resolver-te alguns exercícios de sucessões convergentes.

• Exercício 1:

neste exercício temos uma indeterminação do tipo

logo vamos dividir tudo pelo maior grau, ou seja, vamos dividir por n. Normalmente tu tens dúvidas pois quando olhas para dentro da raiz dizes que o maior grau é n², porém n²  dentro de uma raiz quadrada ficamos com grau 1,

neste limite quando n tende para infinito a sucessão tende para o número 1, logo podemos afirmar que é uma sucessão convergente.

• Exercício 2:

neste limite temos o cosseno logo vamos separar em dois limites e depois vamos ter num membro um quociente polinomial, e no outro o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada.

no primeiro limite vamos dividir toda a expressão por n² e no segundo limite vamos transformar num produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada,

recordo-te que

logo trata-se de um infinitésimo.

A  sucessão cos²(n) tem como majorante o número 1 e como minorante o número 0, então é uma sucessão limitada.

Como o limite da sucessão é um número real podemos concluir que estamos perante uma sucessão convergente.

• Exercício 3:

neste exercício primeiro vamos ter de simplificar a expressão e depois vamos ter um limite neperiano,

primeiro  fizemos a divisão do quociente polinomial e depois simplificamos o expoente utilizando as propriedades das potências, obtendo dessa forma o limite neperiano.

Mais uma vez obtivemos como resultado do limite um número real podemos então concluir que a sucessão é convergente.

 

Sucessões Divergentes

As sucessões divergentes não tendem para um único número real.

Exemplo: x_n = ( — 1)ⁿ

Exercícios de sucessões divergentes

Vou mostrar-te alguns exercícios de sucessões divergentes para perceberes a diferença entre sucessão convergente e sucessão divergente.

• Exercício 1:

O limite desta sucessão pode e deve ser dividido em n par e n impar, ou seja, a sucessão x_n vai ser dividida em duas subsucessões y_n se n par, e k_n se n impar.

A sucessão x_n só será convergente se o limite de y_n for igual ao limite de k_n.

dividindo por n o último termo obtemos

dividindo por n o último termo obtemos

Ou seja a nossa sucessão inicial dividiu-se em duas subsucessões com limites diferentes logo podemos concluir que a sucessão x_n é divergente.

• Exercício 2:

vamos separar em dois limites,

como o seno é uma sucessão periódica vamos ver quais os valores da sucessão com a evolução do n,

e nesta fase percebemos que a sucessão do seno quando n tende para infinito vai tomar estes 3 valores,

Como a sucessão tende para 3 valores distintos podemos concluir que é divergente.

Diferentes Limites de Sucessões

Os diferentes limites de sucessões são abordados neste capítulo, aqui fica um pequeno resumo desses limites:

1. Quando a sucessão é um quociente polinomial devemos dividir tudo pelo maior grau;
2. quando estamos comum quociente exponencial devemos dividir tudo pelo maior número elevado ao maior expoente;
3. O limite Neperiano é outro tipo de limite que pode aparecer;
4. limites envolvendo infinitésimos com sucessões limitadas;

Entre outros, queres ver como se aplicam? Então vêm daí!
 

Exercícios Resolvidos de Limites

Vou resolver-te vários exercícios de limites de sucessões,
 

• Exercício 1:

neste limite temos um quociente polinomial, logo a forma de resolver a indeterminação é dividir o numerador e o denominador pelo polinómio de maior grau, isto é, vamos dividir tudo por n²,

• Exercício 2:

com este tipo de indeterminação vamos aplicar o conjugado, repara,

• Exercício 3:

vamos separar em dois limites no primeiro dividimos o numerador e o denominador por n, no segundo limite temos o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada logo o seu valor é zero,

• Exercício 4:

neste tipo de limite vamos transformar no limite neperiano, começamos por fazer a divisão,

Sucessões Limitadas

As sucessões dizem-se limitadas quando têm majorante e minorante. Os senos e os cossenos são bons exemplos pois tem como majorante o 1 e minorante o -1.

Tipos de Sucessões 

Existem vários tipos de sucessões, desde sucessões aritméticas, geométricas, infinitésimos, recorrência, ..., nas minhas aulas vou ensinar-te a calcular o limite de todas elas. 

Sucessões Infinitésimos

As sucessões são infinitésimos quando são convergentes e o valor do seu limite é zero.

Exemplo:

Sucessões Aritméticas

As sucessões chamam-se aritméticas se a diferença entre um termo e o anterior for constante.

Exemplo de sucessão aritmética

esta sucessão é aritmética pois a diferença entre qualquer termo e o termo anterior é constante, vejamos r=u_n+1-u_n = 2(n+1) -2n = 2n+2-2n = 2,  ou seja, é constante e o seu valor é 2.

Se pretendermos calcular o limite desta sucessão teremos de calcular a sua soma a partir da seguinte fórmula:

Utilizando à nossa sucessão obtemos,

O seu limite tende para infinito, tratando-se de uma sucessão divergente.

 Sucessões Geométricas

As sucessões chamam-se geométricas se o quociente entre um termo e o anterior for constante.

Sucessões Monótonas

As sucessões monótonas podem ser crescentes ou decrescentes.

Caso sejam crescentes então: 

Se forem decrescentes acontece a seguinte desigualdade:

Queres aprender como se prova a monotonia? Assiste às minhas aulas. 

Exemplos de sucessões monótonas:

Vou dar-te alguns exemplos de sucessões monótonas :

esta sucessão é monotona decrescente , vamos demonstrar,

Quando  calculamos o limite de x_n tendendo n para mais infinito reparamos que estamos perante um infinitésimo, isto é, o valor do limite é zero, tratando-se de uma sucessão monótona decrescente convergente.

esta sucessão é monótona crescente, vamos demonstrar,

Quando calculamos o limite de y_n tendendo n para mais infinito reparamos que o limite é directo e tende para infinito, tratando-se de uma sucessão monótona crescente divergente.

Sucessões definidas por Recorrência

Nas sucessões definidas por recorrência cada termo da sucessão obtém-se a partir dos termos anteriores. Este tipo de sucessões estudam-se de forma diferente, utilizando o método de indução matemática para provarmos a sua convergência. 

Teorema das Sucessões Enquadradas

O teorema das sucessões enquadradas diz-nos que uma sucessão, x_n :  k_n  ≤  x_n  ≤  y_n em que, y_n → a e k_n → a então x_n → a.

Exercícios resolvidos com o teorema das sucessões enquadradas

Atenção: os exercícios que vou resolver com o teorema das sucessões enquadradas não te ensinam o raciocínio, para tal deves adquirir o módulo de sucessões.
 

• Exercício 1:

logo vou encontrar uma sucessão maior y_n e uma sucessão menor k_n que tendam ambas para o mesmo limite.

e calculo o seu limite

e calculo o seu limite

logo pelo teorema das sucessões enquadradas podemos afirmar que x_n também tende para

• Exercício 2:

vamos encontrar uma sucessão maior y_n e uma mais pequena k_n.
 

vamos calcular o seu limite

agora vamos encontrar a sucessão mais pequena k_n.

e calculamos o seu limite

logo pelo teorema das sucessões enquadradas o limite de x_n também é 1.