Funções

No capítulo de funções tens 6 aulas. 
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A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU!

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Domínios de funções polinomiais, exponênciais, logarítmicas e trignométricas.

Aula 2

• Função par e função ímpar;
• Função inversa;
• Cálculo de limites notáveis.

Aula 3

• Continuação do cálculo de limites notáveis de funções;
• Cálculo de limites usando o conjugado;
• Cálculo de limites usando a regra de Ruffini.

Aula 4

• Continuidade num ponto;
• Continuidade num intervalo.

Aula 5

• Teorema de Bolzano;
• Corolário;
• Resolução de exercícios de frequências e exames.

Aula 6

• Resolução de exercícios de frequências e exames.

Aulas de Funções

Neste capítulo vamos ter 6 aulas de funções. Todas elas têm as definições aplicadas directamente a exercícios.

Funções reais de variável real

Neste capítulo falo de funções reais de variável real. De forma prática vou dar-te exemplos e explicar-te como deves calcular domínios, limites, zeros, assimptotas.

Por exemplo, imagina ƒ(x)= x² + 4x³ — 2 trata-se de uma função real de variável real, sabes porquê? Porque quando atribuis um número real à função, o que obténs como resultado também é um número real.

Tens dificuldades em limites? Vou ensinar-te como se resolve cada tipo.

As funções são estudadas num ramo da matemática chamado cálculo. 

O que é uma função?

Uma função ou aplicação é quando existe um conjunto de objectos e um conjunto de imagens em que a cada objecto corresponde uma só imagem.

Gráficos de funções

Apresento-te os gráficos de algumas funções importantes:

Domínios de Funções

Os domínios de funções correspondem ao conjunto de valores que podem assumir. Para tal é necessário respeitar as seguintes regras:

1. sempre que temos um quociente polinomial, o denominador deve ser diferente de zero;
2. no caso de termos uma raiz de ordem par, o seu argumento deve ser maior ou igual a zero;
3. quando estamos perante um logaritmo, o seu argumento deve ser positivo;
4. o domínio da tangente são todos os números reais exceto os valores que anulam o cosseno;
5. a função arco seno e arco cosseno só assumem valores entre [-1,1].

Nas minhas aulas aplicamos todas estas regras a exemplos.

Paridade de uma função

A paridade de uma função estuda se uma função é par ou ímpar. 

Dizemos que ƒ(x) é par quando o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. Um exemplo é: 

ƒ(x) = x²,

podemos provar este resultado a partir da igualdade ƒ(x) = ƒ(—x).

Dizemos que ƒ(x) é ímpar quando a simetria é a partir da origem. Um exemplo é ƒ(x)=x,

e provamos este resultado a partir da igualdade ƒ(x) = — ƒ(—X).

Função injectiva

Uma função diz-se injectiva se, cada imagem tiver apenas um objecto que lhe corresponda, ou seja, objectos diferentes implicam imagens diferentes. Qualquer recta real é injectiva, tal como exponenciais e funções logarítmicas. Uma das consequências desta propriedade é a existência de inversa, ƒ(x) apenas tem inversa se for injectiva (até porque a inversa de ƒ(x) inverte os eixos) isto é, o eixo dos xx’s de ƒ(x) passa a ser o eixo dos yy's de ƒ^-1(x), logo caso cada imagem tivesse mais de um objecto que lhes correspondesse, isto quereria dizer que, na inversa cada objecto teria mais do que uma imagem, ou seja, não seria uma função.

Função Constante

Dizemos que uma determinada função é constante se e só se para qualquer objecto  da função a sua imagem é sempre igual.

Função Contínua

Dizemos que uma função é contínua em R se e só se for contínua em todos os pontos de R.

Função Diferenciável

Dizemos que uma função é diferenciável em R se e só se tiver derivada finita em todos os pontos de R.

Função Exponencial

Uma função exponencial têm as seguintes características:

1. O seu domínio é R,
2. O seu contradomínio é R⁺,
3. Quando a sua base é superior a 1 têm um crescimento rápido,
4. e^x.e^y = e^x+y,
5. e^x/e^y = e^x-y,
6. (e^x)^y = e^xy .

Função Polinomial

Existem funções polinomiais de grau zero, grau um, grau dois e assim sucessivamente. Uma função polinomial de grau um graficamente trata-se de uma recta.

Função Logaritmo

Uma função logaritmo têm as seguintes características:

1. O seu domínio é R⁺,
2. O seu contradomínio é R,
3. log(x)+log(y) = log(xy),
4. log(x) - log(y) = log(x/y),
5. a.log(b)= log(b^a).

Função Inversa

Dada uma função f(x) injectiva a sua inversa f^-1(x) tem as seguintes características:

1. O domínio de f(x) corresponde ao contradomínio de f^-1(x),
2. O contradomínio de f(x) corresponde ao domínio de f^-1(x),
3. Graficamente f^-1(x) corresponde à inversão dos eixos.

Limites de funções

Os limites de uma função e a forma de os resolver depende da indeterminação:

1. caso tenhamos um quociente polinomial devemos encontrar os zeros do numerador e do denominador, para podermos simplificar a expressão;
2. se tivermos uma indeterminação do tipo (∞ — ∞) utilizamos o conjugado;
3. caso seja necessário podemos utilizar os limites notáveis como por exemplo:
   

Limites Notáveis

Existe um conjunto de limites notáveis muito úteis no cálculo de limites de funções. Vou apresentar-te os limites notáveis mais importantes, para cada um vou resolver-te um exercício como exemplo.

1.
   

Exercício:

neste limite multipliquei e dividi pelo conjugado uma vez que 1-cos²(x) = sen²(x), depois bastou separar os limites e aplicar o limite notável.

2.
 

Exercício:

neste limite coloquei em evidência e^sen(x) e utilizei a fórmula da duplicação do seno,
sen(2x) = 2sen(x)cos(x).

3.

Exercício:

neste limite bastou utilizar a igualdade, 

.

Continuidade de uma função

A continuidade de uma função num ponto estuda-se a partir dos seguintes limites:

Zeros de uma função

Os zeros de uma função correspondem aos pontos onde toca no eixo dos xx’s, 

Quando estamos perante polinómios podemos encontrá-los a partir da fórmula resolvente ou por Ruffini, caso o grau seja superior a dois. Porém, quando ƒ(x) é uma função trigonométrica, logarítmica, exponencial ou a composição de todas estas, pode ser difícil encontrar os zeros. Nestes casos, podemos ter de usar métodos que nos indicam com um determinado erro, qual é o intervalo onde os zeros estão. Um exemplo é o método da bisseção. 

Também existe o corolário do teorema de Bolzano, o qual me garante a existência de zeros num determinado intervalo. Queres aprender a calcular?