Derivadas

No capítulo de derivadas tens 9 aulas. 
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A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU!

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Definição de derivada num ponto;
• Regras de derivação para funções: polinomiais, exponênciais, logarítmicas e trignométricas.

Aula 2

• Regras de derivação de funções trignométricas e exponênciais;
• Equação de recta tangente.

Aula 3

• Cálculo de limites usando a regra de Cauchy.

Aula 4

• Estudo da monotonia e extremos locais;
• Estudo das concavidades e pontos de inflexão;
• Estudo das assimptotas;
• Esboço do gráfico de funções.

Aula 5

• Continuação da aula anterior.

Aula 6

• Teorema de Weierstrass;
• Teorema de Rolle;
• Corolários.

Aula 7

• Teorema de Lagrange;
• Polinómio de Taylor e de Maclaurin.

Aula 8

• Resolução de exercícios de frequências e exames.

Aula 9

• Continuação da resolução de exercícios de frequências e exames.

Aulas de Derivadas

Este capítulo é composto por 9 aulas de derivadas, onde vais aprender a calcular a derivada por definição e a derivar pelas regras aplicando a derivada no estudo de limites e de funções. 

O que são derivadas?

Sempre que calculamos a derivada de uma função num ponto, o que obtemos é o valor do declive da recta tangente nesse ponto. 

A derivação de qualquer recta é sempre constante. Se te imaginares sobre a recta y = 2x vais estar numa subida sempre com a mesma inclinação, neste caso 2, sendo este o valor da derivada.

Em física, considerando uma determinada função como sendo a posição, a sua derivada é a velocidade.

Qual é a utilidade das derivadas?

1. Conseguimos  saber os intervalos onde a função f(x) é  crescente e onde é decrescente.
    
2.  Podemos encontrar os extremos locais da função, ou seja, máximos e mínimos.
    
3.  Conseguimos estudar as concavidades de f(x) e os seus pontos de inflexão. 
    
4. Sempre que pretendemos desenhar o gráfico de f(x) a primeira e segunda derivada são fundamentais.
    
5.  Podemos calcular limites de funções aplicando a regra de Cauchy. 
    
6. Podemos fazer aproximações de funções num ponto a partir da fórmula de Taylor e de Maclaurin. 
    
7. Conseguimos resolver problemas de física envolvendo velocidades e acelerações. 
    
8. As derivadas são essenciais para o cálculo de primitivas.
    
9. Quando temos problemas de optimização.
    
10. Para o cálculo de diferenciais.

Durante todo o teu curso vais utilizar derivadas em um ou vários destes tópicos.


Estás preparado para aprender?
 

Ao longo deste capítulo vou ensinar-te a derivar e a aplicar a derivação na resolução de problemas.

Derivada de uma função

A derivada de uma função diz-nos os períodos onde a função é crescente e os períodos onde é decrescente.

Estudo do gráfico de uma função

Para o estudo do gráfico de uma função precisamos da derivada ƒ(x) e do seu quadro da monotonia, pois sempre que ƒ’(x) é positiva a função é crescente e caso ƒ’(x) seja negativa a função é decrescente. Também precisamos de ƒ”(x) e do quadro das concavidades. E calcular as assimptotas caso existam. Depois de termos toda esta informação o gráfico de ƒ é como se juntássemos as peças de um puzzle.

Definição de derivada

A definição de derivada de uma função num ponto a é dada por: 

Derivada de constante

A derivada da função constante é dada a partir da seguinte fórmula:

   (c)' = 0
 

Derivada da Soma

A derivada da soma de duas funções é dada a partir da seguinte fórmula:

    (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

Derivada de polinómios

A derivada de polinomios é dada a partir da seguinte fórmula:

    (xⁿ)'=nx^n-1
 

Derivada da potência

A derivada da função potência é dada a partir da seguinte fórmula:

     (uⁿ)'=nu'u^n-1
 

Derivada da exponencial

A derivada da função exponencial é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada de ln

A derivada da função ln é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada do cosseno

A derivada da função cosseno é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada do seno

A derivada da função seno é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada arcsen

A derivada da função arcsen é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada arccos

A derivada da função arccos é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada arctan

A derivada da função arctan é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada da raiz

A derivada da raiz é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada do produto

A derivada da produto é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada do quociente

A derivada do quociente é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada da tangente

A derivada da função tangente é dada a partir da seguinte fórmula:

Derivada da cotangente

A derivada da função cotangente é dada a partir da seguinte fórmula:

Exercícios de derivadas

Os próximos exercícios de derivadas têm como objectivo ensinar-te a utilizar as regras de derivação mencionadas acima.

Encontra a derivada das seguintes funções:
 

• Exercício 1:

para derivarmos esta função vamos utilizar a regra do quociente,

a derivada está feita agora vamos simplificar a expressão utilizando a propriedade distributiva,

• Exercício 2:

neste exercício estamos perante um produto logo será essa a primeira regra de derivação a ser utilizada,

• Exercício 3:

este é o tipo de exercício onde te costumas enganar porque achas que a primeira regra a utilizar é a do cosseno, mas não é a primeira regra a utilizar é a da potência, uma vez que o cosseno está ao cubo,

• Exercício 4:

na derivada desta função começamos por utilizar a regra da potência uma vez que a raiz cúbica de uma função é igual a termos a função elevada a

 isto é,

logo a sua derivada será,

agora vamos derivar a função arctan e a função logaritmo,

• Exercício 5:

nesta função temos uma variável elevada a outra variável, se reparares nas regras de derivação acima enunciadas nenhuma se adequa.

Vamos em primeiro lugar simplificar a função para podermos ter uma expressão onde é possível utilizar as regras de derivação.

após esta simplificação já podemos aplicar uma regra de derivação, pois ficámos com uma função e^u.

Equação da recta tangente

A equação da recta tangente de uma função ƒ(x) num ponto (a,ƒ(a)) é dada por: 
(y — ƒ(a)) = ƒ ' (a).(x —a).

Esta equação devolve-nos para qualquer função diferenciável num ponto a recta tangente nesse ponto. 

Regra de Cauchy

A regra de Cauchy serve para calcular limites de quocientes de funções com indeterminações do tipo:

Sempre que estamos perante esta situação devemos derivar o numerador e o denominador, isto é:

Nas minhas aulas aplico esta regra aos vários tipos de limites que existem.

Limites

Vou resolver- te vários limites usando a regra de Cauchy,

• Exemplo 1:

no cálculo deste limite utilizamos directamente a regra de Cauchy, uma vez que temos uma indeterminação do tipo 0/0, ou seja, derivamos o numerador e o denominador,

• Exemplo 2:

neste 2º exemplo também podemos aplicar directamente a regra de Cauchy. Atenção quando derivamos não aplicamos a regra do quociente, derivamos o numerador e em separado o denominador, repara,

• Exemplo 3:

neste caso temos uma indeterminação do tipo,  (0 x ∞)  logo não podemos utilizar directamente a regra de Cauchy, primeiro vamos simplificar a função,

depois desta pequena simplificação já podemos aplicar a regra de Cauchy, uma vez que ficamos com uma indeterminação do tipo

 

• Exemplo 4:

neste caso temos uma indeterminação do tipo (0 ⁰), logo primeiro vamos ter de simplificar a função pois só podemos aplicar a regra de Cauchy a indeterminações

só agora podemos aplicar a regra de Cauchy,  vamos fazê-lo,

Teorema de Rolle

O teorema de Rolle diz-nos que, se uma função é contínua e diferenciável num intervalo [a,b] e as imagens dos extremos do intervalo são iguais, então temos a garantia de que existe nesse intervalo pelo menos um zero da função derivada. Nesta aula resolvo exercícios aplicando este teorema e os seus corolários.

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor serve para fazermos aproximações de funções num ponto. Imagina que, sem máquina de calcular queres saber o valor e³ ...eu ensino-te como!

Teorema de Weierstrass

O teorema de Weierstrass diz-nos que, uma função contínua num intervalo [a,b] é limitada nesse intervalo e tem um máximo e um mínimo. 

Sabes como se encontram máximos e mínimos de uma função? No meu curso eu explico-te.

Teorema de Lagrange

O teorema de Lagrange afirma que, numa função contínua e diferenciável num intervalo existe pelo menos um ponto 

Queres ver como se aplica?