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No capítulo de Noções Topológicas em R² e R³ tens 6 aulas. 
Podes adquiri-las na compra do módulo.

A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

  • Definição de ponto interior, ponto exterior, ponto fronteiro, aderência e derivada em R²;
  • Definição de conjunto aberto, conjunto fechado e conjunto limitado.


Aula 2

  • Exercícios de Noçoões Topológicas em R².


Aula 3

  • Exercícios de domínios aplicados a noções topológicas em R².

 

Aula 4

  • Definição de ponto interior, ponto exterior, ponto fronteiro, aderência e derivada em R³;
  • Definição de conjunto aberto, fechado e limitado;
  • Exercícios.


Aula 5

  • Resolução de exercícios de noções topológicas de exames.


Aula 6

  • Resolução de exercícios de noções topológicas de exames.

As noções topológicas em e em  correspondem a uma área da matemática que estuda a topologia no plano xoy e no espaço xyz.

 

Aulas de noções topológicas em R² e em R³

Nas aulas de noções topológicas em e em vais aprender a calcular pontos interiores, exteriores, fronteira, aderência e derivado em vários subconjuntos do plano e do espaço.

Também vais aprender a definição de conjunto aberto, fechado e limitado.

 

Pontos interiores em R²

Dizemos que (x,y) é um ponto interior de um conjunto A contido em R² sse ao traçarmos um pequeno círculo com centro em (x,y) este está contido em A.

8.1 exemplo de um conjunto A em R²

 

 

8.2 conjunto A coroa circular

logo,  

8.3 pontos interiores em A

 

 


Pontos exteriores em R²

Dizemos que (x,y) é um ponto exterior de um conjunto A contido em R² sse ao traçarmos um pequeno círculo com centro em (x,y) este está vazio de pontos de A.

8.4 pontos exteriores em A

 



Pontos fronteiros em R²

Dizemos que (x,y) é um ponto fronteiro de um conjunto A contido em R² sse ao traçarmos um pequeno círculo com centro em (x,y) este contém pontos do conjunto A e pontos de R²\A.

8.5 pontos fronteiros em A

 



Aderência ou Fecho de um conjunto em R²

A Aderência de um conjunto A corresponde à reunião dos pontos interiores com os pontos fronteiros, ou seja,

8.6 definição de aderência



no nosso exemplo obtemos,

8.7 aderência em A




Pontos de acumulação ou derivado em R²

Dizemos que (x,y) é um ponto de acumulação de um conjunto A contido em R² sse ao traçarmos um pequeno círculo com centro em (x,y) este contém vários pontos do conjunto A,
no exemplo que estamos a trabalhar:

8.8 pontos de acumulação em A

 


Pontos interiores em R³

Dizemos que (x,y,z) é um ponto interior de um conjunto B contido em R³ sse ao traçarmos uma pequena esfera com centro em (x,y,z) esta está contida em B.

8.9 exemplo de conjunto B em R³

 


8.10 Exemplo B esfera centrada na origem com raio 4

logo,

8.11 pontos interiores em B




Pontos exteriores em R³

Dizemos que (x,y,z) é um ponto exterior de um conjunto B contido em R³ sse ao traçarmos uma pequena esfera com centro em (x,y,z) esta está vazio de pontos de B.

8.12 pontos exteriores em B

 



Pontos fronteiros em R³

Dizemos que (x,y,z) é um ponto fronteiro de um conjunto B contido em R³ sse ao traçarmos uma pequena esfera com centro em (x,y,z) esta contém pontos do conjunto B e pontos de R³\B.

8.13 pontos fronteiros em B


 


Aderência ou Fecho de um conjunto em R³

A Aderência de um conjunto B corresponde à reunião dos pontos interiores com os pontos fronteiros, ou seja,

8.14 definição de aderência

 


no nosso exemplo: 
8.15  aderência em B


 


Pontos de acumulação ou derivado em R³

Dizemos que (x,y,z) é um ponto de acumulação de um conjunto B contido em R³ sse ao traçarmos uma pequena esfera com centro em (x,y,z) esta contém vários pontos do conjunto B,
no exemplo que estamos a trabalhar:

8.16  pontos de acumulação em B

 



Conjunto limitado em R³

Dado um conjunto B contido em R³, dizemos que é limitado se existir uma esfera em que o conjunto B fica contido nela.

 

Conjunto aberto e conjunto fechado

Dado um conjunto A dizemos que este é aberto sse 
A=int(A).

Um conjunto A é fechado sse


Nos exemplos trabalhados ambos os conjuntos A e B não são abertos e são fechados.

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Miguel Varela, Universidade de Évora, Gestão

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