Integrais Duplos

No capítulo de Integrais Duplos tens 6 aulas. 
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A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Cálculo de integrais duplos ou integrais iterados;
• Cálculo de integrais duplos esboçando as regiões de integração.

Aula 2

• Esboço das regiões de integração;
• Inverter a ordem de integração;
• Inverter a ordem de integração e calcular o integral resultante.

Aula 3

• Cálculo de áreas através de um ou mais integrais duplos.

Aula 4

• Coordenadas polares.

Aula 5

• Cálculo de massa;
• Cálculo do centro de massa;
• Cálculo dos momentos de inércia.

Aula 6

• Resolução de exercícios de exames.

Os integrais duplos são fundamentais no cálculo de áreas e volumes.

Aulas de integrais duplos

Ao longo destas aulas vamos aprender a calcular integrais duplos usando coordenadas cartesianas e coordenadas polares. Vamos perceber a diferença entre ambas.

Integrais duplos utilizando coordenadas cartesianas

Sempre que a área ou volume que pretendemos calcular é representada por funções não circulares utilizamos integrais duplos com coordenadas cartesianas.

Vejamos um exemplo:

Cálculo da área usando integrais duplos com coordenadas cartesianas:

Integrais duplos utilizando coordenadas polares

Quando a área ou volume que pretendemos calcular é representada por funções circulares utilizamos coordenadas polares.

Neste tipo de coordenadas deixamos de ter x e y e passamos a ter r e θ,sendo r o raio e θ o ângulo. 

Utilizando as seguintes igualdades:

x= rcos(θ)   e   y= rsen(θ)  ,neste tipo de coordendas o valor do jacobiano é r.
 

Vejamos um exemplo:

A equação que representa este  círculo é :
x²+y²=4.

A sua área é calculada utilizando coordenadas polares,

O cálculo de volumes também pode ser feito utilizando integrais duplos, nas minhas aulas vou ensinar-te a calcular áreas e volumes com as duas formas de integração. 

Vamos também recapitular as primitivas e primitivar funções de duas variáveis, isto é, primitivar primeiro em x tomando y como constante e vice-versa. 

Toda a teoria será aplicada a exercícios.