Séries

No capítulo de Séries tens 9 aulas. 
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Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Sumários das Aulas

Aula 1

• Definição de séries geométricas;
• Cálculo da soma de séries geométricas.

Aula 2

• Definição de séries de Mengoli ou séries telescópicas;
• Cálculo da soma de séries telescópicas.

Aula 3

• Critérios de convergência de uma série;
• Critério D'Alembert;
• Estudo da natureza de séries utilizando o critério D'Alembert.

Aula 4

• Critério da raiz ou de Cauchy;
• Estudo da natureza de séries utilizando o critério de Cauchy;
• Teste da divergência. Estudo da natureza de séries utilizando o teste da divergência.

Aula 5

• Série de Dirichlet;
• Critério da comparação;
• Estudo de séries utilizando o critério da comparação.

Aula 6

• Critério de Leibniz;
• Estudo de séries utilizando o critério de Leibniz.
• Convergência simples ou absoluta de uma série.

Aula 7

• Definição de séries de potências;
• Raio de convergência;
• Estudo de séries de potências.

Aula 8

• Série de Taylor;
• Série de Maclaurin.

Aula 9

• Resolução de exercícios de frequências e exames.

Aulas de Séries 

Neste capítulo ensino-te a calcular a soma de séries Geométricas e de Mengoli. Também ensino vários critérios de convergência para séries de termos positivos e para séries alternadas.

Vamos ainda estudar séries de potências, nomeadamente a série de Taylor.

Na matemática as séries são somas de infinitas parcelas.

O que são Séries Numéricas? 

As Séries Numéricas são somas de infinitos números. Por exemplo:

Série de potência 

A série de potência é uma série cujo termo geral depende de uma variável x. Neste tipo de séries estuda-se o raio de convergência R.

Dentro do raio de convergência existe convergência absoluta e fora dele divergência. 

Exemplo:

Convergente e Divergente 

Uma série é convergente quando podemos somar todos os seus números, e é divergente quando a soma dos seus números dá infinito.

Convergência simples e absoluta

Quando uma série converge em módulo, tem convergência absoluta. Quando não existe convergência absoluta estuda-se a série normalmente e caso haja convergência conclui-se que a série converge simplesmente. 

Série Taylor 

A série de Taylor é uma série de potências, e é utilizada para fazer aproximações de funções.

Exemplo:

Série de Maclaurin

A série de Maclaurin corresponde a um caso particular da série de Taylor quando x=0.

Exemplo: 

Série Geométrica

Estamos perante uma série Geométrica quando, a razão é encontrada dividindo qualquer termo pelo termo anterior, isto é, dada a série:

a sua razão calcula-se da seguinte forma:

Exemplo: 

Série de Mengoli

Estamos perante uma série de Mengoli quando, o termo geral da série é uma diferença entre termos ou, o termo geral depois de simplificado transforma-se numa diferença de termos, isto é:

nestes casos, quando desenvolvemos a série apercebemo-nos que, a partir de determinada ordem os termos anteriores cortam com os posteriores, ficando apenas com alguns dos termos da série.

Exemplo:

Série de Dirichlet

A série:

chama-se série de Dirichlet e sabemos que:

1. se α > 1 é convergente;
2. se α ≤ 1 é divergente. 

Critério D’Alembert

O critério D’Alembert diz-nos que, dada uma série:

devemos calcular o seguinte limite,

1. se L > 1 a série é divergente;
2. se L < 1 a série é convergente;
3. se L = 1 nada se conclui.

Queres ver exemplos práticos? Consulta os meus vídeos. 

Exemplo do Critério D’Alembert

O critério d’Alembert utiliza-se quando no termo geral da série existem factoriais ou funções exponenciais, vou dar-te um exemplo:

dada a série 

 
vamos estudar a sua natureza utilizando o critério D'Alembert,

logo podemos afirmar que esta série é convergente. 

Queres ver mais exemplos práticos? Consulta os meus vídeos.
 

Critério de Cauchy ou Teste da Raiz

O critério de Cauchy ou Teste da Raiz diz-nos que, dada uma série:

devemos calcular o seguinte limite:

1. se L > 1 a série é divergente,
2. se L < 1 a série é convergente,
3. se L = 1 nada se conclui.

Exemplo do Critério de Cauchy

O critério de Cauchy utiliza-se quando no termo geral da série existem uma potência de ordem n, vou dar-te um exemplo:

 
vamos estudar a sua natureza utilizando o critério de Cauchy

logo podemos afirmar que esta série é convergente.

Critério da Comparação

O critério da Comparação usa-se em séries de termos positivos, onde se compara a série inicial normalmente com a série de Dirichlet.

Exemplo do critério da comparação 

O critério da comparação utiliza-se sempre que outros critérios  não são os  mais adequados, vou dar-te um exemplo:

vamos estudar a sua natureza utilizando o critério da comparação,

é convergente pois trata-se da série de Dirichlet com α = 2, 
logo podemos afirmar que a série 

também é convergente.

Teste da Divergência

O teste da Divergência pode ser utilizado para provar a divergência de uma série, dada a:

então a série é divergente.

Exemplos do teste da Divergência

O teste da divergência apenas se utiliza como o próprio nome indica para provar a divergência de uma série, vou dar-te alguns exemplos.

• Exemplo 1:

Estude a natureza da seguinte série

o primeiro critério que utilizamos aqui é o critério de Cauchy,

logo a partir do  critério da raiz de Cauchy o resultado é inconclusivo, vamos ver que utilizando o teste da divergência conseguimos saber a natureza desta série, para tal basta encontrar o limite do termo geral da série,

logo a série é divergente.

• Exemplo 2:

Estude a natureza da seguinte série

neste caso vamos utilizar directamente o teste da divergência, repara

logo é divergente.

Critério de Leibniz

O critério de Leibniz usa-se para estudar a Natureza de séries alternadas. Dada a série:

Se

, 

 e a_n for uma sucessão decrescente então a série é convergente.