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No capítulo de Funções Definidas em R² e R³ tens 5 aulas. 
Podes adquiri-las na compra do módulo.

A PRIMEIRA AULA OFEREÇO EU

Para ficares a conhecer o meu método de ensino prático e direto, deixo aqui a primeira aula completa.

Funções em R2 e R3

Funções em R2 e R3

Sumários das Aulas

Aula 1

  • Regras de domínios;
  • Cálculo de domínios e representação gráfica em R²;
  • Cálculo de domínios e representação gráfica em R³.


Aula 2

  • Limites de funções em R²;
  • Limites iterados;
  • Limite direcional;
  • Limite por definição.


Aula 3

  • Cálculo de limites em R² (continuação).

 

Aula 4

  • Continuidade de uma função num ponto;
  • Prolongamento por continuidade ao ponto (a,b).


Aula 5

  • Exercícios de exames sobre limites, continuidade e domínios.

O círculo e a elipse são bons exemplos de funções definidas em R².


Aulas de funções definidas em R²

Ao longo destas aulas vamos estudar domínios, limites e continuidade de funções em R².

 

Domínios em R²

Quando pretendemos calcular um domínio em R² e em R³ devemos fazê-lo analiticamente e graficamente, pois é a partir da sua representação gráfica que visualizamos o domínio.

Se a função estiver em R² as suas principais restrições são:

9.1 restrições de domínios em R²

 

Para compreenderes melhor vou dar-te um exemplo, dada a função
9.2 exemplo de função em R²

 


calcula e representa graficamente o seu domínio.

9.3 representação analítica de domínio em R²

 

 

 

9.4 representação gráfica de domínio em R²

 

Limites de funções em R²

Quando calculamos o limite de uma função  num ponto a em R, este existe se o limite à esquerda do ponto a for igual ao limite à direita do ponto a. A existência de limite de uma função num ponto (a,b) em R² não é  tão simples, por esse motivo primeiro tentamos provar que o limite não existe, calculando o limite direccional. Caso não existam falhas provamos a existência de limite usando a definição de limite.

Para entenderes melhor vou dar-te dois exemplos, no primeiro não existe limite e no segundo existe.
 

9.5  exemplo-1 de limite em R²

 


primeiro vamos calcular os limites direcionais,

9.6 limite direcional

 

 

este limite não existe pois depende de m e um limite só existe se for único e finito.

 

9.7 exemplo-2 limite em R²

 


primeiro vamos calcular os limites direcionais,

9.8 limite direccional



como o limite direcional deu zero, isto quer dizer que o limite pode existir ou não, logo vamos provar que existe por definição

9.9 limite por definição em R²

 

 

 

Nas minhas aulas ensino-te a usar esta definição e a partir dela conseguimos provar que este limite existe e que é zero.

 

Continuidade de uma função em R²

Uma função f(x,y) é contínua num subconjunto de R² sse for continua em todos os pontos desse subconjunto. 

 f(x,y) é contínua num ponto (a,b) sse

9.10 definição de continuidade em R²

 

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